Son el resultado de
sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del
polinomio.
Grado de un polinomio:
Es el grado del término
de mayor grado.
El término de primer
grado se llama término lineal.
El término de grado cero
se denomina término independiente.
Valor numérico de un
polinomio:
Para hallar el valor
numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se
efectúan las operaciones indicadas.
Adición de polinómios:
Para sumar dos
polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el
signo de la adición, y se reducen términos semejantes.
Sustracción de
polinomios:
La sustracción de dos
polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
Expresiones algebraicas:_
Una expresión
algebraica es un conjunto de números y letras unidas por los signos de las
operaciones aritméticas.
Definición y ejemplos
de polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que se
obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.
Si recordamos la suma
de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso
lo que se obtiene es por tanto un polinomio.
Ejemplo 8.- Son polinomios las
expresiones siguientes:
a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3
b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5
En el primer caso el
polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres
términos., cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el
polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llamatérmino
independiente (5 en el caso b
y no existe en el caso a)
Cuando un polinomio
consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3 ; 2x
+ 3 son dos binomios
Cuando consta de tres
monomios se denomina trinomio:
el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son dos trinomios.
Con más de tres
términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.
Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por
grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
Así en el caso a) los grados de los monomios (suma de
los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8.
En el caso b) el grado es 4.
Los números que
acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman
también coeficientes del polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5
respectivamente en el caso b).
" Lo más habitual
que nos vamos a encontrar son polinomios del tipo del caso b), por tanto con
una sola letra, que habitualmente será la x". En este caso a la letra
se le suele llamar variable.
Suma y resta de
polinomios
La suma de polinomios
se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podrán sumar los términos
(monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma.
"A partir de este
momento trabajaremos ya sólo con polinomios con una sola letra (x) por
considerar que son los más utilizados en la práctica "
Ejemplo 9.- Para calcular la
suma de los polinomios:
(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( 5x3 - x2 + 2x )
Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de
ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está.
Podemos indicar la suma
de la siguiente forma para verla mejor:
4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x
+ 5
+--- - 5x3 --- x2 +2x
_____________________
4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5
+--- - 5x3 --- x2 +2x
_____________________
4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5
Por tanto: Para sumar
dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.
Si en lugar de sumar
dos polinomios se tratara de restarlos,
bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los
resultados.
Ejemplo 10.- Para calcular la
diferencia o resta de los dos polinomios anteriores:
(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x )
Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5
Producto de polinomios
Para multiplicar dos
polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del
otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de
potencias de la misma base")
Si uno de los dos
polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena
siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.
En el caso en que ambos
polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma
semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo
de cada monomio los que sean semejantes.
En la siguiente imagen
se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos.
Ejemplo 11.-
En la práctica no suele
indicarse la multiplicación como en esta imagen, sino que suelen colocarse
todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. Así:
Ejemplo 12.- ( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) ·
(x + 1) = (-2x4 +3x3 -2x2 + 5x -
2x3 + 3x2 - 2x + 5) = - 2x4 + x3+
x2 +3x + 5
Igualdades notables
Se denominan así a
algunas operaciones con polinomios de especial interés ya que aparecerán
frecuentemente en los cálculos.
Las más usuales son:
Cuadrado de un binomio: suma (a + b)2 o diferencia (a - b)2
Naturalmente realizar
un cuadrado es multiplicar el binomio por sí mismo, luego:
(a + b)2 = (a + b ) · (a + b) =
a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
" El cuadrado de
una suma es igual al cuadrado del primero más dos veces el primero por el
segundo más el cuadrado del segundo "
De modo similar: (a + b)2 = a2 -
2ab + b2 ( igual que antes pero cambiando el
signo central).
"En cualquier caso
se debe tener en cuenta que el primer término "a" también puede ser
negativo y por tanto cambiar el signo central". "En general se puede
considerar siempre como una suma y para cada término asignarle el signo que le
preceda (ver ejemplo 13 - b)
Ejemplo 13.-
a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y + (3y)2
= 4x2 +12xy + 9y2
b) (- x + 3)2 = (-x)2 +
2 · (-x) · 3 + 32 = x2 - 6x + 9
Suma por diferencia: se refiere al
producto de la suma de dos monomios por la diferencia de ellos mismos:
(a + b) · (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2
Siempre recordamos que
" suma por diferencia es
igual a la diferencia de los cuadrados" .
Otras igualdades
importantes pero menos utilizadas pueden son:
Cubo de una suma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
Cuadrado de un
trinomio: (a + b + c)2 = a2+ b2 +c2 +
2ab+ 2ac + 2bc
División de polinomios
La división de
polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias
cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con
los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:
Con los polinomios dividendo y divisor ordenador de
mayor a menor grado:
- Se divide el primer
término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer
término del cociente
- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial
- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.
- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial
- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.
Normalmente se dividen
polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor.
En la imagen siguiente se puede ver una división completa:
Ejemplo 14.-
Como se ve se ha
obtenido de cociente 4x + 1 y de resto - 3x + 2.
