Polinomios....

Son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.

Grado de un polinomio:

Es el grado del término de mayor grado.

El término de primer grado se llama término lineal.

El término de grado cero se denomina término independiente.

Valor numérico de un polinomio:

Para hallar el valor numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se efectúan las operaciones indicadas.

Adición de polinómios:

Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.

Sustracción de polinomios:

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Expresiones algebraicas:_

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas.

Definición y ejemplos de polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.

Ejemplo 8.- Son polinomios las expresiones siguientes:

a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5

En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llamatérmino independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a)

Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3 ; 2x + 3 son dos binomios

Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son dos trinomios.

Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.

Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

Así en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8.

En el caso b) el grado es 4.

Los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman también coeficientes del polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5 respectivamente en el caso b).

" Lo más habitual que nos vamos a encontrar son polinomios del tipo del caso b), por tanto con una sola letra, que habitualmente será la x". En este caso a la letra se le suele llamar variable.

Suma y resta de polinomios

La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podrán sumar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma.

"A partir de este momento trabajaremos ya sólo con polinomios con una sola letra (x) por considerar que son los más utilizados en la práctica "

Ejemplo 9.- Para calcular la suma de los polinomios:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( 5x3 - x2 + 2x )

Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está.

Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:

4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+--- - 5x3 --- x2 +2x 
_____________________
4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5

Por tanto: Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.

Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados.

Ejemplo 10.- Para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x )

Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base")

Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.

En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.

En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos.

Ejemplo 11.-

En la práctica no suele indicarse la multiplicación como en esta imagen, sino que suelen colocarse todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. Así:

Ejemplo 12.- ( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) · (x + 1) = (-2x4 +3x3 -2x2 + 5x - 2x3 + 3x2 - 2x + 5) = - 2x4 + x3+ x2 +3x + 5

Igualdades notables

Se denominan así a algunas operaciones con polinomios de especial interés ya que aparecerán frecuentemente en los cálculos.

Las más usuales son:

Cuadrado de un binomio: suma (a + b)2 o diferencia (a - b)2

Naturalmente realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por sí mismo, luego:

(a + b)2 = (a + b ) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

" El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo "

De modo similar: (a + b)2 = a2 - 2ab + b2 ( igual que antes pero cambiando el signo central).

"En cualquier caso se debe tener en cuenta que el primer término "a" también puede ser negativo y por tanto cambiar el signo central". "En general se puede considerar siempre como una suma y para cada término asignarle el signo que le preceda (ver ejemplo 13 - b)

Ejemplo 13.-

a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y + (3y)2 = 4x2 +12xy + 9y2

b) (- x + 3)2 = (-x)2 + 2 · (-x) · 3 + 32 = x2 - 6x + 9

Suma por diferencia: se refiere al producto de la suma de dos monomios por la diferencia de ellos mismos:

(a + b) · (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2

Siempre recordamos que " suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados" .

Otras igualdades importantes pero menos utilizadas pueden son:

Cubo de una suma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

Cuadrado de un trinomio: (a + b + c)2 = a2+ b2 +c2 + 2ab+ 2ac + 2bc

División de polinomios

La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:

Con los polinomios dividendo y divisor ordenador de mayor a menor grado:

- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente
- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial
- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor. En la imagen siguiente se puede ver una división completa:

Ejemplo 14.-

Como se ve se ha obtenido de cociente 4x + 1 y de resto - 3x + 2.

Numeros Imaginarios.....

A pesar de que Descartes originalmente usaba el término “números imaginarios” para referirse a lo que hoy en día se conoce como números complejos, el uso común en la actualidad de los números imaginarios significa un número complejo cuya parte real es igual a cero. Para clarificar y evitar confusiones, tales números muchas veces son mejor llamados números imaginarios puros.


René Descartes acuñó esté termino durante sus estudios en el Siglo XVII, pero sus intenciones eran dar a ciertos números complejos un carácter despectivo, pero luego pasó a ser un eje fundamental
(literalmente) en lo que posteriormente sería el plano cartesiano. Pues, en este plano los ejes cartesianos reales se encuentran en el eje X de forma horizontal y los imaginarios en el Y del eje vertical complejo.

Definición de números imaginarios

Surge la pregunta ¿qué es un número imaginario? Para dar de los números imaginarios una definición, podríamos decir que es un número cuya potenciación es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo.

Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre será positivo. Por ejemplo cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da como resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de ser un número negativo su resultado también será positivo debido a que -5 × -5 anula su negatividad y da como resultado 25.

Por lo tanto un número potenciado que de resultado negativo solo puede suceder en la imaginación, pero a pesar de parecer imposibles los números complejos e imaginarios son muy útiles y tienen una utilidad real para resolver problemas que de otra manera serían un fracaso.

Unidad y símbolo de los números imaginarios

Su símbolo común y frecuente es el del número imaginario I siendo la inicial de “imaginario” y casi siempre va acompañado de un número real para denotar sus distintas propiedades de números imaginarios y expresar de forma particular la suma de un número real y de un número imaginario.

Sin embargo en ciertos campos, en especial los relacionados con la electricidad, a esta unidad imaginaria se la representa de manera diferente para poder clasificarla y no confundirla con el símbolo de la corriente alterna que se denota usualmente con la letra i, por lo tanto en estos campos también se puede encontrar a los números imaginarios representados con la letra j, sin cambiar de ninguna manera sus propiedades o resultados.

La unidad de los números imaginarios, al igual que es tratado con los números reales en cuyo caso es uno o 1, viene a ser √-1 o raíz cuadrada de uno negativo. Está denominación nació en el siglo XVIII debido a que Leonard Euler quería nombrar a los números imaginarios de manera desdeñosa dándole una denominación que se entiende como un objeto inexistente.

Propiedades de los números imaginarios

Para la suma, encontramos que:

La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un número imaginario.

Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la adición.

También una propiedad distributiva, donde la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número.

Durante la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero.

Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier número, el resultado será el mismo número.

Mientras que para la multiplicación o producto encontramos que:

El producto, al igual que la suma, también es cerrado, lo cual significa que al multiplicar números complejos entre sí, el resultado también es un número imaginario puro.

En este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que si se altera el orden de los números complejos e imaginarios, no se altera el resultado.

También posee una propiedad distributiva.

Y por cada número imaginario también existe un inverso multiplicativo cuyo resultado del producto de ambos, es igual a 1.

De la misma manera para la raíz cuadrada de cualquier número real negativo el resultado siempre será un número imaginario.

Partiendo de tal premisa, podemos anotar lo siguiente: √-25 = √25 × -1 = √25 √-1 = 5i

A continuación se ofrecen varios ejemplos con números imaginarios, a partir de las propiedades anteriormente mencionadas.

Ejemplos de números imaginarios

Como ejemplos de números complejos tenemos:

Ejemplos de las propiedades de la suma

Propiedad cerrada: 3i + 4i = 7i.

Propiedad conmutativa: 2i + 4i = 4i + 2i.

Propiedad distributiva: (6i + 4i) × 5i = (6i ×5i) + (4i × 5i).

Número neutro: 8i + 0 = 8i.

Elemento opuesto o inverso aditivo: 3i -3i = 0.

Ejemplos en el producto o multiplicación

Propiedad conmutativa: (6i) (3i) = (3i) (6i) o lo que es lo mismo 6i × 3i = 3i × 6i.

Propiedad distributiva: 3i × (5i × 4i) = (3i × 5i) × 4i.

Elemento opuesto o Inverso multiplicativo: 4i × 1/4i = 1.

Ejemplo de las propiedades de la potenciación

Unidad imaginaria: √-1 = i. Esta es la propiedad que define al número imaginario i.

Utilidad de los números imaginarios

El uso de los números imaginarios puede estar presente en muchos campos, pero principalmente lo podemos encontrar en el teorema fundamental de álgebra para encontrar la raíz cuadrada de números negativos.

Profesionalmente se lo utiliza en campos relacionados con la electricidad, donde utilicen la teoría de circuitos y para calcular la corriente alterna, para así permitir el tratamiento de magnitudes, que a pesar de poseer números imaginarios, dicha corriente existe y es tan tangible, así como peligrosa si no se maneja con el debido cuidado. Y en física cuántica para explicar de manera más simple los estados cuánticos variables del tiempo.

Operaciones con números imaginarios

Suma

Para hacer operaciones con números imaginarios, en este caso la suma, seguimos las reglas básicas de la matemática agrupando los números reales y los números imaginarios respectivamente.

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Como ejemplo tenemos:

(5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i

Sustracción

Para realizar la sustracción, también se deben agrupar los números imaginarios y reales. Por ejemplo:

(5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i

Multiplicación

Para la multiplicación debemos multiplicar cada término del primer factor por los del segundo.

(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd)+(ad+bc)i

Podemos observar que el elemento bdi² se convierte en –bd por la
propiedad de los números imaginarios en la cual i² es igual a -1.

Como ejemplo tenemos:

(3+2i)(6+7i) = 18+21i+12i+14i² = (18-14)+(21+12)i = 4+33i

División

En los números imaginarios, la división es más complicada pues se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, siendo las siguientes operaciones correspondientes:

Como ejemplo de divisiones de números imaginarios tenemos:

Potencias

En la potenciación de números imaginarios, existen equivalencias e identidades que serían las siguientes:

i⁰=1

i¹=i

i²=-1

i³=-i

i⁴=1

Estas notaciones se van repitiendo cada cuatro números, lo cual quiere decir que para saber cuál es un determinado valor de la potencia de un número imaginario o complejo, debemos dividir el exponente entre cuatro y el resto del exponente es la potencia equivalente según las identidades notables que anotamos anteriormente.

Por ejemplo: i²⁶

Tomamos 26 y dividimos para 4, lo que nos da: 6×4+2=26

Sabiendo entonces que 2 es el exponente indicado según su equivalencia, decimos que:

i²⁶ = (i⁴)⁶ × i² = 1⁶ × -1 = -1

Intenta averiguar cuál es el resultado de i²⁷.

Productos Notables...

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio  por un término  se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es , es decir, el producto de la base  por la altura , y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas:  

 

Cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Numeros Aleatorios....

Generador desde: hasta: número de repeticiones: sin repetición:

Generador de numeros aleatorios

Valor mínimo: Valor máximo:

Los Números Naturales...

¿Que son los Números Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

Propiedades de la adición de Números Naturales 

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa 

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro 

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma 

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuántas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos). 

Propiedades de la resta: 

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

 

Propiedades de la División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). 

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.